3.127 \(\int \csc ^2(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ -\frac{\csc (a+b x) \sec (a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \text{Hypergeometric2F1}\left (\frac{1-m}{2},\frac{m-1}{2},\frac{m+1}{2},\sin ^2(a+b x)\right )}{b (1-m)} \]

[Out]

-(((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (-1 + m)/2, (1 + m)/2, Sin[a + b*x]^
2]*Sec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(1 - m)))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0819772, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.1, Rules used = {4310, 2577} \[ -\frac{\csc (a+b x) \sec (a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \, _2F_1\left (\frac{1-m}{2},\frac{m-1}{2};\frac{m+1}{2};\sin ^2(a+b x)\right )}{b (1-m)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

-(((Cos[a + b*x]^2)^((1 - m)/2)*Csc[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (-1 + m)/2, (1 + m)/2, Sin[a + b*x]^
2]*Sec[a + b*x]*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(1 - m)))

Rule 4310

Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Dist[(g*Sin[c + d
*x])^p/(Cos[a + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^p), Int[Cos[a + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

Rule 2577

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(b^(2*IntPart
[(n - 1)/2] + 1)*(b*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*(a*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2
, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2])/(a*f*(m + 1)*(Cos[e + f*x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]), x] /; FreeQ[{a, b
, e, f, m, n}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \csc ^2(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx &=\left (\cos ^{-m}(a+b x) \sin ^{-m}(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x)\right ) \int \cos ^m(a+b x) \sin ^{-2+m}(a+b x) \, dx\\ &=-\frac{\cos ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \csc (a+b x) \, _2F_1\left (\frac{1-m}{2},\frac{1}{2} (-1+m);\frac{1+m}{2};\sin ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x)}{b (1-m)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 5.51468, size = 938, normalized size = 11.04 \[ \frac{2 \left ((m+1) F_1\left (\frac{m-1}{2};-m,2 m;\frac{m+1}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cot ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )+(m-1) F_1\left (\frac{m+1}{2};-m,2 m;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )\right ) \csc ^2(a+b x) \sin ^m(2 (a+b x)) \tan \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )}{b \left (m (m+1) F_1\left (\frac{m-1}{2};-m,2 m;\frac{m+1}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) (3 \cos (a+b x)-2) \sec (a+b x) \cot ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )+2 m (m+1) F_1\left (\frac{m-1}{2};-m,2 m;\frac{m+1}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) \tan (a+b x) \cot \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )-(m+1) F_1\left (\frac{m-1}{2};-m,2 m;\frac{m+1}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) \csc ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )+(m-1) F_1\left (\frac{m+1}{2};-m,2 m;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) \sec ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )-2 (m-1) m \left (F_1\left (\frac{m+1}{2};1-m,2 m;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+2 F_1\left (\frac{m+1}{2};-m,2 m+1;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )\right ) \sec ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )-\frac{2 (m-1) m (m+1) \left (F_1\left (\frac{m+3}{2};1-m,2 m;\frac{m+5}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+2 F_1\left (\frac{m+3}{2};-m,2 m+1;\frac{m+5}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )\right ) \sec ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ) \tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )}{m+3}+(m-1) m F_1\left (\frac{m+1}{2};-m,2 m;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) \tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )+m (m+1) F_1\left (\frac{m-1}{2};-m,2 m;\frac{m+1}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+(m-1) m F_1\left (\frac{m+1}{2};-m,2 m;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) (3 \cos (a+b x)-2) \sec (a+b x)+2 (m-1) m F_1\left (\frac{m+1}{2};-m,2 m;\frac{m+3}{2};\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right ) \tan \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right ) \tan (a+b x)\right )} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Csc[a + b*x]^2*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

(2*((-1 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + (1 + m)*Appell
F1[(-1 + m)/2, -m, 2*m, (1 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]^2)*Csc[a + b*x]^2
*Sin[2*(a + b*x)]^m*Tan[(a + b*x)/2])/(b*(m*(1 + m)*AppellF1[(-1 + m)/2, -m, 2*m, (1 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^
2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - (1 + m)*AppellF1[(-1 + m)/2, -m, 2*m, (1 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/
2]^2]*Csc[(a + b*x)/2]^2 + (-1 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)
/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2 - 2*(-1 + m)*m*(AppellF1[(1 + m)/2, 1 - m, 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[
(a + b*x)/2]^2] + 2*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*Sec[
(a + b*x)/2]^2 + (-1 + m)*m*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*(
-2 + 3*Cos[a + b*x])*Sec[a + b*x] + m*(1 + m)*AppellF1[(-1 + m)/2, -m, 2*m, (1 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Ta
n[(a + b*x)/2]^2]*(-2 + 3*Cos[a + b*x])*Cot[(a + b*x)/2]^2*Sec[a + b*x] + (-1 + m)*m*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2
*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Tan[(a + b*x)/2]^2 - (2*(-1 + m)*m*(1 + m)*(AppellF1[(
3 + m)/2, 1 - m, 2*m, (5 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 2*AppellF1[(3 + m)/2, -m, 1 + 2*m,
(5 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2]^2)/(3 + m) + 2*m*(1
+ m)*AppellF1[(-1 + m)/2, -m, 2*m, (1 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cot[(a + b*x)/2]*Tan[a
+ b*x] + 2*(-1 + m)*m*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Tan[(a
+ b*x)/2]*Tan[a + b*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.326, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \csc \left ( bx+a \right ) \right ) ^{2} \left ( \sin \left ( 2\,bx+2\,a \right ) \right ) ^{m}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(b*x+a)^2*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

[Out]

int(csc(b*x+a)^2*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \csc \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^2*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*csc(b*x + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \csc \left (b x + a\right )^{2}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^2*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sin(2*b*x + 2*a)^m*csc(b*x + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)**2*sin(2*b*x+2*a)**m,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \csc \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^2*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*csc(b*x + a)^2, x)